來(lái)源：許磊, 童根樹. 圓鋼管單向壓彎構(gòu)件穩(wěn)定[J]. 鋼結(jié)構(gòu)(中英文), 2021, 36(9): 1-9. 

doi: 10.13206/j.gjgS20111601

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研究背景

       對(duì)柱端無(wú)很大橫向力或集中彎矩作用的圓鋼管壓彎構(gòu)件, GB 50017—2017《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》中采用式(1)計(jì)算其整體穩(wěn)定承載力:

       式中: φ 為軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定系數(shù); γm 為截面塑性發(fā)展系數(shù); M 為計(jì)算雙向壓彎整體穩(wěn)定時(shí)采用的彎矩值; NE 為根據(jù)構(gòu)件最大長(zhǎng)細(xì)比計(jì)算的歐拉力; β 為等效彎矩系數(shù),當(dāng)圓管柱僅為平面內(nèi)壓彎時(shí), β  = ; N′Ex 為考慮抗力分項(xiàng)系數(shù)后的歐拉臨界承載力; W 為彎矩作用平面內(nèi)對(duì)受壓最大纖維的毛截面模量; f 為鋼材強(qiáng)度設(shè)計(jì)值; MxA、MyA、MxB、MyB 分別為 A、B端對(duì)應(yīng)的 x、y 軸的彎矩; M1x、M2x、M1y、M2y 分別為構(gòu)件兩端關(guān)于 x、y 軸的最大、最小彎矩,構(gòu)件無(wú)反彎點(diǎn)時(shí)取同號(hào),有反彎點(diǎn)時(shí)取異號(hào),并滿足 |M1x| ≥ |M2x|、|M1y| ≥ |M2y| 。

       對(duì)比工字鋼截面,圓管截面是沒(méi)有角點(diǎn)的閉口截面,截面任意對(duì)稱且抗彎剛度較大,所以圓鋼管壓彎構(gòu)件這種特殊的截面特性可能導(dǎo)致其具有與工字鋼壓彎構(gòu)件不同的軸向壓力-彎矩相關(guān)關(guān)系。國(guó)外部分規(guī)范中并沒(méi)有為圓管截面提出特殊形式的相關(guān)計(jì)算公式,我國(guó) GB 50017—2017 中雖然將圓管截面作為特殊截面處理并采用式(1)計(jì)算圓鋼管壓彎構(gòu)件穩(wěn)定承載力,但是對(duì)于端部彎矩比為1的圓鋼管單向壓彎構(gòu)件,式(1)的形式與工字鋼單向壓彎構(gòu)件穩(wěn)定承載力計(jì)算公式形式相同,僅僅是塑性發(fā)展系數(shù)和穩(wěn)定系數(shù)等常數(shù)的取值不同,可能并不能體現(xiàn)出圓鋼管單向壓彎構(gòu)件軸向壓力-彎矩相關(guān)關(guān)系與工字鋼單向壓彎構(gòu)件的區(qū)別,所以有必要對(duì)圓鋼管單向壓彎構(gòu)件進(jìn)行深入研究。

       本文采用 ANSYS 有限元程序?qū)A鋼管單向壓彎構(gòu)件進(jìn)行計(jì)算,并將有限元計(jì)算結(jié)果與式(1)計(jì)算結(jié)果對(duì)比,討論式(1)對(duì)計(jì)算圓鋼管單向壓彎構(gòu)件穩(wěn)定承載力的適用性。本文從圓鋼管截面塑性鉸狀態(tài)的軸力-彎矩相關(guān)關(guān)系出發(fā),推導(dǎo)出圓鋼管單向壓彎構(gòu)件極限承載力上限的理論公式,并參考該計(jì)算公式對(duì)大量有限元數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,提出更適合圓鋼管單向壓彎構(gòu)件極限承載力的理論計(jì)算公式。

研究?jī)?nèi)容

1 非線性有限元計(jì)算

1.1 計(jì)算方法

       本文采用 ANSYS 有限元程序計(jì)算圓鋼管單向壓彎構(gòu)件的穩(wěn)定極限承載力。有限元模型采用 Beam189 單元,該單元是一種基于 Timoshenko 梁理論的3D二次有限應(yīng)變梁?jiǎn)卧?考慮剪切應(yīng)變的影響,每個(gè)單元有3個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6或7個(gè)自由度,因此該單元可以準(zhǔn)確地計(jì)算構(gòu)件整體穩(wěn)定承載力。

       有限元建模時(shí)考慮初彎曲和殘余應(yīng)力對(duì)構(gòu)件穩(wěn)定極限承載力的影響。初彎曲在平面內(nèi)按照正弦半波考慮,幅值 δ = L /1000( L 為構(gòu)件長(zhǎng)度)。殘余應(yīng)力只考慮熱軋圓鋼管縱向殘余應(yīng)力,采用的殘余應(yīng)力分布模型如圖 1所示,管壁外側(cè)壓應(yīng)力為-0.15f ,管壁內(nèi)側(cè)拉應(yīng)力為0.15f。通過(guò)前期有限元分析,得出相同長(zhǎng)細(xì)比下不同的徑厚比 D/t ( D 為截面外直徑, t 為截面厚度)對(duì)圓鋼管單向壓彎構(gòu)件的 N/(φNP)-M/MP ( NP 為截面塑性極限軸力, MP 為截面塑性極限彎矩)相關(guān)關(guān)系影響極小,故本次采用的模型截面直徑 D =360 mm,徑厚比 D/t =60。鋼材構(gòu)采用理想彈塑性模型,彈性模量 E =206 GPa,鋼材型號(hào)采用 Q235、 Q355 和 Q460。蔡春聲等指出壓力和彎矩交叉作用時(shí),改變加載順序?qū)τ跇?gòu)件的極限承載力影響很小;許磊通過(guò)有限元軟件對(duì)不同長(zhǎng)細(xì)比下改變加載順序的圓鋼管單向壓彎構(gòu)件進(jìn)行計(jì)算,發(fā)現(xiàn)不同加載順序?qū)A鋼管單向壓彎構(gòu)件的 N/(φNP)-M/MP 相關(guān)關(guān)系的影響極小,故本文采用先加軸力再加彎矩的加載順序,構(gòu)件受力模型如圖 2 所示。

圖 1 圓鋼管截面縱向殘余應(yīng)力分布模型

圖 2 壓彎桿受力簡(jiǎn)圖

1.2 計(jì)算結(jié)果與分析

式(2)是 GB 50017—2017 中圓鋼管壓彎構(gòu)件的強(qiáng)度控制公式:

記則不考慮抗力分項(xiàng)系數(shù)的式(1)可等效表示為式(3a):

同樣,強(qiáng)度式(2)也可等效表示為式(3b):

有限元求解的極限彎矩為 MFE(p) ,記 mFE = ,則 m1 用有限元計(jì)算結(jié)果可以表示為:

       因?yàn)閴簭潣?gòu)件在兩端彎矩比較小或者異號(hào)時(shí)可能會(huì)發(fā)生強(qiáng)度破壞,所以需要判定有限元的數(shù)據(jù)點(diǎn)是由強(qiáng)度公式控制還是由穩(wěn)定公式控制。判定方法如下:當(dāng)在相同 p 下,若式(3a)計(jì)算的 m1-stability 大于式(3b)計(jì)算的 m1-strength ,說(shuō)明這種情況下構(gòu)件破壞是由強(qiáng)度控制的,反之,構(gòu)件破壞是由穩(wěn)定控制;記式(3a)等于式(3b)時(shí)的軸力為 plimit ,當(dāng) p ≤ plimit 時(shí),構(gòu)件破壞由強(qiáng)度式(2)控制;當(dāng) p > plimit 時(shí),構(gòu)件破壞由穩(wěn)定式(1)控制。如圖 3 所示,橫坐標(biāo)為 m1,圖中式(3a)曲線在式(3b)曲線下方時(shí),構(gòu)件破壞由穩(wěn)定公式(3a)控制,對(duì)應(yīng)的有限元數(shù)據(jù)點(diǎn)是式(3c)曲線的穩(wěn)定控制部分;式(3a)曲線在式(3b)曲線上方時(shí),構(gòu)件破壞由強(qiáng)度式(3b)控制,對(duì)應(yīng)的有限元數(shù)據(jù)點(diǎn)是式(3c)曲線的強(qiáng)度控制部分。

注: λ 為長(zhǎng)細(xì)比; M1 為較大端部彎矩; M2 為較小端部彎矩。

圖 3 穩(wěn)定公式(3a)及強(qiáng)度公式(3b)與有限元公式對(duì)比

       圖4~圖6是有限元計(jì)算結(jié)果與式(3a)的對(duì)比,圖中是參考式(3)將式(1)、式(2)和有限元計(jì)算結(jié)果的橫坐標(biāo)均變換為 m1 ,圖中式(3c)曲線即為橫坐標(biāo)變換后的彎矩比從-1到1的有限元計(jì)算結(jié)果,式(3a)結(jié)果即橫坐標(biāo)變換后的穩(wěn)定公式(1),參考圖3的形式只保留了由穩(wěn)定公式(1)控制的有限元結(jié)果并刪除了由強(qiáng)度公式(2)控制的有限元結(jié)果。從圖中可以看出,式(3a)的計(jì)算結(jié)果對(duì)于有限元計(jì)算結(jié)果整體上是過(guò)于保守的。兩端彎矩比為1且長(zhǎng)細(xì)比大于60時(shí),式(3a)的計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果比較接近;長(zhǎng)細(xì)比不大于30時(shí),式(3a)則偏安全較多。不同彎矩比情況下有限元計(jì)算結(jié)果與式(3a)計(jì)算結(jié)果存在不同程度的偏差,尤其構(gòu)件是雙曲率彎曲的情況下,兩者偏差較大。相同長(zhǎng)細(xì)比和彎矩比下,不同軸力的式(3a)計(jì)算結(jié)果的保守程度也不一樣,一般而言,軸力較小的情況下,式(3a)會(huì)更加保守。所以有必要針對(duì)圓鋼管單向壓彎構(gòu)件進(jìn)行研究,提出更適合于該構(gòu)件的穩(wěn)定承載力計(jì)算公式。

a—長(zhǎng)細(xì)比 λ =30; b—長(zhǎng)細(xì)比 λ =60; c—長(zhǎng)細(xì)比 λ =90; d—長(zhǎng)細(xì)比 λ =120; e—長(zhǎng)細(xì)比 λ =150。

圖 4 Q235 鋼材的有限元結(jié)果與式(3a)結(jié)果的對(duì)比

a—長(zhǎng)細(xì)比 λ =30; b—長(zhǎng)細(xì)比 λ =60; c—長(zhǎng)細(xì)比 λ =90; d—長(zhǎng)細(xì)比 λ =120; e—長(zhǎng)細(xì)比 λ =150。

圖 5 Q355 鋼材的有限元結(jié)果與式(3a)結(jié)果的對(duì)比

a—長(zhǎng)細(xì)比 λ =30; b—長(zhǎng)細(xì)比 λ =60; c—長(zhǎng)細(xì)比 λ =90; d—長(zhǎng)細(xì)比 λ =120; e—長(zhǎng)細(xì)比 λ =150。

圖 6 Q460 鋼材的有限元結(jié)果與式(3a)結(jié)果的對(duì)比

2 理論分析與有限元結(jié)果對(duì)比

2.1 軸力-彎矩相關(guān)公式的理論推導(dǎo)

首先推導(dǎo)圓鋼管截面塑性鉸狀態(tài)的軸力-彎矩相關(guān)關(guān)系。如圖7所示,圖中陰影部分表示受壓塑性區(qū),由此可以得到:

消去 α 后得到圓鋼管截面塑性鉸狀態(tài)的精確軸力-彎矩相關(guān)關(guān)系:

其中  NP = 2πRtf, MP = 4R2tf 

如圖8所示,式(6)可以用式(7)近似表示:

將單向壓彎構(gòu)件存在的三種初始缺陷等效為初始彎曲 e0 ,把等效初始彎曲放大后的彎矩和純彎彎矩放大后代入式(7),得到式(8):

當(dāng)外彎矩 M 等于零時(shí),軸心受壓桿件的極限承載力 Nu0 = φNP ,代入式(8)后得:

將式(9)代入式(8)后得:

       式(10)是從圓管截面的塑性鉸極限承載力公式出發(fā)推導(dǎo)出的圓鋼管單向壓彎構(gòu)件穩(wěn)定承載力公式,是承載力的上限。通過(guò)對(duì)大量圓鋼管單向壓彎構(gòu)件進(jìn)行有限元分析,將有限元計(jì)算結(jié)果以式(10)為基礎(chǔ)進(jìn)行擬合,并對(duì)線性變化彎矩引入 GB50017—2017 中對(duì)工字鋼截面已經(jīng)采用的等效彎矩系數(shù),得到式(11):

式中: λn 為正則化長(zhǎng)細(xì)比。

與純理論推導(dǎo)的式(10)相比,式(11)僅在 κ2 系數(shù)上根據(jù)有限元分析的結(jié)果進(jìn)行了擬合。

圖 7 截面參數(shù)示意

圖 8 式(6)與式(7)對(duì)比

       圖9是 Q235 強(qiáng)度且彎矩比等于1情況下的不同長(zhǎng)細(xì)比下圓鋼管單向壓彎構(gòu)件的有限元計(jì)算曲線及由式(1)、式(10)和式(11)計(jì)算的軸力-彎矩曲線。從圖 9a有限元結(jié)果的軸力-彎矩曲線中可以看出,隨著長(zhǎng)細(xì)比由30增大到150,有限元計(jì)算曲線整體上是由向上凸出逐漸變?yōu)橄蛳掳枷?當(dāng)長(zhǎng)細(xì)比小于50時(shí),有限元計(jì)算曲線整體基本是向上凸出的,當(dāng)長(zhǎng)細(xì)比大于50時(shí),有限元計(jì)算曲線整體上是向下凹陷的;當(dāng)長(zhǎng)細(xì)比小于70時(shí),有限元計(jì)算曲線除了整體上的凹凸性特點(diǎn)外還存在細(xì)部凹凸性變化,即長(zhǎng)細(xì)比小于70的構(gòu)件,有限元計(jì)算曲線存在反彎點(diǎn),當(dāng)軸力較小時(shí),有限元計(jì)算曲線向上凸出,當(dāng)軸力較大時(shí),有限元計(jì)算曲線向下凹陷。圖9b 是式(1)的軸力-彎矩曲線,可以看出,式(1)曲線是向下凹陷的,并且隨著長(zhǎng)細(xì)比增大,向下凹陷程度逐漸變大;長(zhǎng)細(xì)比小于50時(shí),有限元計(jì)算的軸力-彎矩曲線整體上是向上凸出的,而式(1)曲線是向下凹陷的且沒(méi)有體現(xiàn)出反彎點(diǎn)的特點(diǎn);再結(jié)合圖4~圖6,進(jìn)一步說(shuō)明了式(1)偏保守但是并沒(méi)有很好地反映圓鋼管單向壓彎構(gòu)件的軸力-彎矩曲線形狀,尤其是在小長(zhǎng)細(xì)比的情況下。圖9c是未修正的理論推導(dǎo)公式(10)的軸力-彎矩曲線,可以看出:式(10)在整體的凹凸性上與有限元計(jì)算曲線是基本一致的,凹凸程度差距并不大,但長(zhǎng)細(xì)比小于70時(shí),式(10)曲線仍沒(méi)有體現(xiàn)出反彎點(diǎn)的特點(diǎn)。圖9d是式(11)的軸力-彎矩曲線,可以看出,該式曲線在整體凹凸性上與有限元計(jì)算曲線保持一致,且在長(zhǎng)細(xì)比小于70 時(shí),式(11)的曲線也體現(xiàn)出反彎點(diǎn)的特點(diǎn)。綜合來(lái)看,在彎矩比等于1的情況下,式(10)可以在整體上表示圓鋼管單向壓彎構(gòu)件的軸力-彎矩關(guān)系曲線形狀,而對(duì)單個(gè)參數(shù)擬合修正后提出的式(11)則反映了圓鋼管單向壓彎構(gòu)件的真實(shí)軸力-彎矩關(guān)系曲線形狀,故式(11)作為其穩(wěn)定承載力計(jì)算公式的基礎(chǔ)是合適的。

a—有限元結(jié)果; b—式(1); c—式(10); d—式(11)。

圖 9 有限元曲線形狀和三個(gè)公式的曲線形狀

2.2 理論公式與有限元結(jié)果對(duì)比

基于圖9的分析結(jié)果,對(duì)式(11)與有限元結(jié)果進(jìn)行更加全面的對(duì)比。

記,則穩(wěn)定公式(11)可等效表示為式(12a):

同樣,強(qiáng)度公式(6)可等效表示為式(12b):

有限元求解的極限彎矩為 MFE(p) ,記 mFE =,則 m2 用有限元計(jì)算結(jié)果可以表示為:

       當(dāng)在相同 p 下,若式(12a)計(jì)算的 m2-stability 大于式(12b)計(jì)算的 m2-strength ,就說(shuō)明這種情況下構(gòu)件破壞是由強(qiáng)度控制,反之構(gòu)件破壞是由穩(wěn)定控制;記式(12a)等于式(12b)時(shí)的軸力為 plimit ,當(dāng) p ≤ plimit 時(shí),構(gòu)件破壞由強(qiáng)度公式(6)控制;當(dāng) p > plimit 時(shí),構(gòu)件破壞由穩(wěn)定公式(11)控制。如圖10所示,橫坐標(biāo)為 m2 ,圖中式(12a)曲線在式(12b)曲線下方時(shí),構(gòu)件破壞是由穩(wěn)定公式(12a)控制的,對(duì)應(yīng)的有限元數(shù)據(jù)點(diǎn)是式(12c)曲線的穩(wěn)定控制部分;式(12a)曲線在式(12b)曲線上方時(shí),構(gòu)件破壞由強(qiáng)度公式(12b)控制,對(duì)應(yīng)的有限元數(shù)據(jù)點(diǎn)是式(12c)曲線的強(qiáng)度控制部分。

圖 10 穩(wěn)定公式(12a)與強(qiáng)度公式(12b)關(guān)系

       圖11~圖13是有限元計(jì)算結(jié)果與式(12a)計(jì)算結(jié)果的對(duì)比,圖中參考式(12)將式(6)、式(11)和有限元計(jì)算結(jié)果的橫坐標(biāo)均變換為 m2 ,圖中式(12c)曲線即橫坐標(biāo)變換后的彎矩比從-1到1的有限元計(jì)算結(jié)果,式(12a)結(jié)果即橫坐標(biāo)變換后的穩(wěn)定公式(11),參考圖3的形式只保留了由穩(wěn)定公式(11)控制的有限元結(jié)果并刪除了由強(qiáng)度公式(6)控制的有限元結(jié)果。從圖11~圖13中可看出:式(11)很好表現(xiàn)了圓鋼管單向壓彎構(gòu)件的軸向壓力-彎矩的相關(guān)關(guān)系,同時(shí)式(11)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比有限元計(jì)算結(jié)果有很好的計(jì)算精度;當(dāng)端部彎矩比為1時(shí),式(11)的計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果吻合很好且整體略偏保守,只有在 p 較小時(shí),式(11)計(jì)算結(jié)果略低于有限元計(jì)算結(jié)果,但仍在容許范圍之內(nèi)。對(duì)于不等端彎矩作用下的圓鋼管單向壓彎構(gòu)件,理論計(jì)算公式采用式(11c)計(jì)算等效穩(wěn)定系數(shù),從圖中可以看出:該式精度更高, 更加適用于圓管截面。

a—長(zhǎng)細(xì)比 λ =30; b—長(zhǎng)細(xì)比 λ =60; c—長(zhǎng)細(xì)比 λ =90; d—長(zhǎng)細(xì)比 λ 120; e—長(zhǎng)細(xì)比 λ =150。

圖 11 Q235 鋼的有限元結(jié)果與式(12a)結(jié)果的對(duì)比

a—長(zhǎng)細(xì)比 λ =30; b—長(zhǎng)細(xì)比 λ =60; c—長(zhǎng)細(xì)比 λ =90; d—長(zhǎng)細(xì)比 λ =120; e—長(zhǎng)細(xì)比 λ =150。

圖 12 Q355 鋼的有限元結(jié)果與式(12a)結(jié)果的對(duì)比

a—長(zhǎng)細(xì)比 λ =30; b—長(zhǎng)細(xì)比 λ =60; c—長(zhǎng)細(xì)比 λ =90; d—長(zhǎng)細(xì)比 λ =120; e—長(zhǎng)細(xì)比 λ =150。

圖 13 Q460 鋼的有限元結(jié)果與式(12a)結(jié)果的對(duì)比

結(jié) 論

       對(duì)圓鋼管單向壓彎柱的穩(wěn)定極限承載力進(jìn)行理論分析,將有限元計(jì)算結(jié)果與 GB 50017—2017 中的軸力-彎矩相關(guān)公式進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn) GB 50017—2017 過(guò)于保守,尤其是端部彎矩比較小或者是異號(hào)的情況。從圓管截面塑性鉸狀態(tài)的軸力-彎矩相關(guān)關(guān)系出發(fā)并代入考慮幾何缺陷的彈性二階彎矩,推導(dǎo)出圓鋼管單向壓彎柱穩(wěn)定承載力上限公式,將該式與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和擬合,修改了理論公式中的一個(gè)系數(shù)并采用工字鋼壓彎柱的等效彎矩系數(shù),得到了圓鋼管單向壓彎柱穩(wěn)定承載力計(jì)算公式,該式適用于計(jì)算不同長(zhǎng)細(xì)比的圓鋼管單向壓彎柱穩(wěn)定承載力,且計(jì)算結(jié)果精度較高。